Математика

МБОУ Часцовская средняя   Логотип школы

общеобразовательная 

школа

 

 

Математика

 

Математический портал

 

http://school.msu.ru/

 

  Математика, по обычным, установившимся с давнего времени, взглядам, есть наука о величинах, предмет которой состоит в измерении величин, или, согласно с поправкой, внесённой Огюстом Контом, в непрямом измерении величин. Такое определение если и может считаться удовлетворительным, то только для отдалённого прошлого, когда задачи математики не шли далее практических искусств счёта и измерения протяжений. Но уже с IV века до н.э. практическая арифметика, под именем «логистики», и практическая геометрия, в форме землемерия, потеряли почти всякий интерес в глазах математиков Древней Греции, и на первый план выдвинулись для них изучение свойств протяжений, или теоретическая геометрия, и в меньшей степени изучение свойств чисел, или, по терминологии нашего времени, теория чисел.
          Счёт
Развитие математики началось с создания практических искусств счёта и измерения линий, поверхностей и объёмов. Началом этого развития можно считать появление у первобытного человека определённого представления о единице и неопределённого представления «множества». Последующее развитие первобытного счисления состояло в последовательном выделении из неопределённого представления множества понятий об отдельных целых числах — до пределов, которые определялись у различных народов самыми разнообразными обстоятельствами. В целом ход первоначального развития счисления долгое время затруднялся неумением первобытного человека отделять числовое представление от конкретного представления о группе предметов. Вследствие этого счёт долгое время оставался только вещественным. На исключительно большую величину промежутка времени, в течение которого выделялось представление числа три указывает факт существования во многих языках грамматической формы двойственного числа (греческий, иврит). Предполагается, что на момент образования этих форм носители соответствующих языков при счёте оперировали только понятиями «один», «два» и «много». К этому же громадному промежутку времени восходят начало развития счисления дробей и связанное с ним первое образование системы счисления. Первой дробью, с которой познакомилось человечество, была половина. Вслед за ней постепенно выходили на свет сознания и ближайшие к ней другие дроби двоичной системы: половина могла быть, в свою очередь, разделена на две полполовины и т. д., в пределах практического употребления. (Примером подобного образования дробей двоичной системы является древнерусская система земельных мер: землемерные рукописи и официальные акты по землемерию допетровской эпохи доходили в образовании этих дробей до 8, 9 и даже 10 повторений приставки пол- к слову половина).
Разнообразие готовых форм, используемых человеком в качестве орудий для счёта, нашло удобное упрощение в пальцах рук — «группе однородных предметов», постоянно находящейся в его распоряжении. Наблюдения над пальцевым счётом современных дикарей обнаружили трудность перехода от счета на одной руке к операциям с числами больше пяти. Настоящим прорывом стала мысль освобождать занятые выражением числа 5 пальцы одной руки с помощью употребления особого мнемонического знака: камня, щепки, царапины и т.п. Т.о. возникла пятеричная система счисления и положено начало развитию письменности.
Аналогичные трудности и методы их преодоления понадобились для использования пальцев обеих рук, а также всех двадцати пальцев на руках и ногах.
Практика пальцевого и предметного счета привела к развитию системы условных письменных знаков, первоначально изображающих считаемые предметы, а затем постепенно упрощающая их изображение. В то же время развивался инструментальный счет, использующий различные рукотворные приспособления. Он оказался весьма живуч: начавшись с первобытного шнурка с узлами и счётных палочек, он был продолжен счётами — в древности и средневековье, а затем — счётными машинами новой эпохи.
Геометрия
Данных для изучения первобытной геометрии у науки нет. Вероятно, первое ознакомление с основными геометрическими понятиями доставляло человечеству созерцание предметов окружающей природы и их художественное воспроизведение в мифологических образах, включающих в себя моторику танца и символические орнаментальные изображения. Более ли менее четкие геометрические представления можно обнаружить в планах первых жилищ. Однако эти представления не фиксировались рационально — до тех пор, пока не появилась надобность в измерении длин и расстояний, определении величины земельных участков, вычислении размеров и объёмов. Умозрительный подход стал применяться значительно позже, и притом не всегда упешно: характерным примером является ложное учение о равенстве площадей фигур при равенстве их периметров, и обратно. Площадь какого-нибудь данного четырёхугольника вычислялась как площадь прямоугольника, имеющего одинаковый с ним периметр, именно такого, неравные стороны которого равнялись полусуммам противоположных сторон рассматриваемого четырёхугольника (египетские землемерные надписи храма в Эдфу). Площади многоугольника, круга, всякой криволинейной фигуры вычислялись как площади квадратов, имеющих сторонами ? периметра рассматриваемой фигуры. Вычитание площадей фигур заменялось вычитанием их периметров и следующим затем определением площади квадрата, периметр которого равнялся полученной разности (русские землемерные рукописи XVII столетия).
Египет
Древнейшим из известных современной науке памятников древней математической литературы является составленный за 1700 лет до н.э., по источникам ещё более древним, восходящим именно к промежутку 2221-2179 гг. до н.э., египетский папирус Ринда (см. Папирусы математические). В таблицах, составляющих его арифметическую часть, исследователь, кроме действий над целыми и дробными числами, встречает ещё случаи возведения в степени, пропорциональное деление, учение о геометрических отношениях и пропорциях в примитивном виде, определение среднего арифметического, задачи, занимающиеся арифметическими прогрессиями, решение уравнений 1-й степени с одним неизвестным. Изложение решений вопросов и задач в папирусе Ринда лишено даже намёка на что-нибудь подобное объяснению или доказательству. Искомый результат или даётся прямо, или вычисляется, как бы по рецепту, в обоих случаях он проверяется, так как уверенность в правильности предписанного решения только при посредстве поверки и может быть достигнута. Такой способ изложения, как свидетельствующий, по меньшей мере, о неясности для сознания найденного решения вопроса, показывает, что вначале исключительно, а позднее во всех более трудных случаях решение задач и вопросов доставлялось феноменальными счётчиками и затем, как умственное наследие, передавалось из поколения в поколение.
Методов, которыми бессознательно пользовались феноменальные счётчики при своих решениях вопросов и задач, как показывают наблюдения над людьми этого типа в новейшее время, было два; из них один может быть назван методом попыток. Сущность метода состоит в совершении ряда попыток, имеющих целью достигнуть вполне точного решения вопроса или возможно более к нему приблизиться. Так как для успеха дела число таких попыток должно быть возможно более ограниченным, то прежде чем приступить к ним необходимо определить на основании условий вопроса их низший или высший предел или оба вместе. Затем для первой из попыток, следовательно, в качестве числа, представляющего для всего их ряда точку исхода, или, короче, в качестве исходного числа, берётся или один из этих пределов, или число, близкое к нему. Выбор для дальнейших попыток, в случае неудачи первой, чисел в ряду следующих за исходным числом всегда следует принципу удобнейших (главным образом для вычисления) чисел. Оценка делаемых попыток в их отношениях к своей главной цели, т.е. по вопросам о том, доставляется ли ими искомое решение вопроса или, в противном случае, насколько они приближают к этому решению, производится с помощью их поверки условиями задачи; без поверки употребление метода делается совершенно немыслимым. Существенной характеристической чертой метода попыток является его применимость к решению самых разнообразных задач и вопросов как теоретического, так и практического характера. Метод попыток может быть прямым, когда попытки занимаются непосредственным определением искомого числа, и непрямым, когда ими определяется число, находящееся в установленной условиями задачи связи с искомым.
Частным случаем метода попыток является метод постепенного образования, или составления искомого числа на основании условий вопроса. В этом методе или все попытки, кроме первой, или некоторая часть их, заменяются рядом изменений, совершаемых или в исходном числе, или в числе, доставленном какой-нибудь из последующих попыток. Изменения эти производятся таким образом, чтобы составляющее их объект число постепенно приближалось к искомому. Приложение этого метода допускается, впрочем, далеко не всеми вопросами, решаемыми методом попыток, а потому он и является не более, как только частным его случаем.
Другим, находящимся в распоряжении феноменальных счётчиков, методом был обычно употребляемый в современной науке метод выражения искомого неизвестного в данных задачи. Феноменальные счётчики, а затем обыкновенные, пользовались им для решения вопросов с немногими и простыми условиями, указывающими с полной очевидностью ряд действий, исполнение которых над данными числами приводит к искомому неизвестному. В папирусе Ринда встречается только одно правило, имеющее для области обнимаемых им случаев, хотя и крайне тесной, общее значение. «Результат умножения каждой дроби с единицей в числителе на дробь 2/3, говорит это правило, всегда состоит из 1/2 умножаемой дроби и из её 1/6». Так как изложение этого правила следует непосредственно за рядом примеров, его подтверждающих, то исследователь получает право заключить, что оно было найдено помощью индукции через простое перечисление. По всей вероятности, и все другие правила общего характера в рассматриваемую отдалённую эпоху выводились таким же образом.
Представляемые папирусом Ринда геометрические сведения древних египтян стоят на гораздо более низкой степени развития, чем их арифметические знания. Для суждения о качественной стороне дела достаточно заметить, что все употребляемые в нём приёмы измерения, как величины земельных участков, так и вместимости житниц, неточны. Притом в первом случае они хотя и имеют умозрительный характер, но на степени развития, не стоящей выше учения о равенстве площадей при равенстве периметров; во втором же случае они являются прямо и грубо эмпирическими. Гораздо более высокое положение, приближающееся до некоторой степени к философскому и научному уровню арифметических знаний, занимает в геометрическом отделе папируса Ринда, по точности результатов и по философскому и научному значению основных идей, статья о вычислении пирамид, как заключающая в себе в примитивном виде учение о подобии треугольников и пользующаяся для определения равенства углов в прямоугольных треугольниках приёмами, состоящими в смысле науки нашего времени в определении синусов и тангенсов.
Высокой для своего времени степенью точности обладает в папирусе Ринда также и приём вычисления площади круга, состоящий в возвышении в квадрат 8/9 его диаметра (см. Квадратура круга). Определённое по этому приёму отношение окружности к диаметру равно 3,16.
В то же время как и в Египте, или немного позже, математические знания достигли довольно высокой степени развития у жителей Вавилона и Ассирии, у халдеев. Главным источником сведений о том являются таблицы из Сенкере, занимающиеся возвышением последовательных натуральных чисел от 1 до 60 в квадрат и куб и пользующиеся для изображения чисел 60-ричной системой счисления. Кроме того, из сочинений греческих писателей мы узнаем, что учение о пропорциях было принесено Пифагором в Грецию из Вавилона. Не имея таким образом оснований для суждения об объёме и свойствах математических знаний халдеев, мы можем указать, как на единственную известную нам черту различия между ними и знаниями египтян — на характер приложений тех и других. Египетские математические знания прилагались к решению вопросов, имеющих практическое утилитарное значение, напротив, халдейские — главным образом преследовали мистические цели и служили для предсказаний будущего.
Греция
Основная статья: Математика в Древней Греции
Донаучный период
Усвоение приобретённых человечеством знаний греками, как нацией, далеко отставшей от передовых народов, началось с особенно усилившегося, после изгнания гиксов из Египта, перехода егип. знаний к народам Малой Азии и в самую Грецию. В течение очень большого промежутка времени, от 1700 г. и ранее и до 600 г. до н. э., эти знания были исключительно практического характера, относящиеся к потребностям обыденной жизни и к необходимейшим промыслам, ремёслам и искусствам.
В области М. переход научных знаний из Египта в Грецию начался с возвращения, около 590 г. до н. э., Фалеса Милетского на родину, в Милет, после долговременного пребывания в Египте. Принесённые им оттуда геометрические и астрономически сведения составляли первое время почти исключительное достояние основанной им ионийской школы. Но это время было очень непродолжительно, так как труд перенесения египетских, а затем и халдейских математических знаний скоро взяли на себя и другие лица: Пифагор Самосский, Энопид Хиосский и Демокрит из Абдеры.
Особенно много сделал в этом направлении Пифагор, что и было главной причиной широкого развития занятий М. в основанной им пифагорейской школе. Так как последовательные стадии развития человечества никогда не сменяют друг друга резко, то в этой школе ещё до окончания периода усвоения исследователь встречается уже с проявлениями самостоятельной деятельности греков в области М. Различить однако же в том, что нам известно о математических знаниях пифагорейцев, принадлежащее им самим от заимствованного у египтян и халдеев, в настоящее время нет пока никакой возможности. После разрушения, около 450 г. до н. э., представляемого этою школой религиозного братства, её математические знания, строго оберегаемые наравне со всеми другими знаниями от распространения между лицами, не принадлежащими к союзу, сделались общим достоянием греческой нации.
Особенно широкое распространение получили они на родине пифагорейского союза, в греческих колониях Южной Италии, или в так называемой Великой Греции, и в Афинах. В Италии это распространение создало италийскую математическую школу, крупнейшими представителями которой в последующее время были Архит Тарентский, Евдокс Книдский и Архимед. В Афинах распространение пифагорейских математических знаний выразилось в деятельности математиков V стол., крупнейшим представителем которых был пифагореец Гиппократ Хиосский. Деятельность эта была посвящена главным образом попыткам решения трёх знаменитых задач: трисекции угла, квадратуры круга и удвоения куба. Этому же столетию принадлежит и первая попытка составления свода геометрических знаний в научной обработке, сделанная Гиппократом Хиосским.
С деятельностью математиков V ст., кроме значительного усиления самостоятельности математических работ греческих учёных, связываются в истории М. два важных момента: начало дедуктивного периода развития М., которое в действительности, может быть, относится к ещё более раннему времени, напр. к пифагорейской школе или даже к самому Египту, и полное выяснение направления и характера математического гения греческой нации, который с этого времени начал проявлять такую исключительную склонность к геометрическим исследованиям, что на них, можно сказать, сосредоточилась вся деятельность греческой нации в области математики до самого наступления периода упадка. С началом дедуктивного периода закончился в истории развития математики во всем человечестве первоначальный, донаучный период.
[править]
Период Академии
Период усвоения греками математических знаний, приобретённых человечеством, можно считать закончившимся ко времени деятельности Платона, который хотя и ездил в Египет с целью непосредственного ознакомления с египетскими науками, но, по высокому сравнительно состоянию математических знаний в пифагорейской школе и у математиков V ст., он едва ли мог найти в египетской математике что-нибудь, оставшееся для греков неизвестным. Итак, период вполне самостоятельной деятельности греков в области М. начинается с деятельности Платона и основанной им в 389 г. Философской школы, известной под именем Академии, или даже ещё ранее, с работ математиков V ст. С этого времени последующее развитие, если не всей М. вообще, то, несомненно, геометрии, сосредоточивается исключительно в руках одной греческой нации, которая и ведёт его, пока находит в своём распоряжении необходимые средства.
Главным результатом о математической деятельности самого Платона было создание философии М. и в частности её методологии. Как известно, его собственные работы очень мало касались увеличения математических знаний в количественном отношении и были направлены главным образом на установление строгих и точных определений основных понятий геометрии, на обнаружение и отведение настоящего места её основным положениям, на приведение приобретённых ранее математических знаний в строгую логическую связь как между собой, так и с основными понятиями и положениями, и наконец, на приведение в полную ясность и изучение методов открытия и доказательства новых истин, методов, хотя уже давно употребляемых в науке, но ещё не выяснившихся в достаточной степени перед сознанием. Методов, разработанных Платоном, по свидетельству Прокла, было три: аналитический, синтетический и апагогический. Особенной новизной для современников Платона отличались, по-видимому, результаты произведённого им изучения аналитического метода, как это можно видеть из того, что Диоген Лаэрций и с меньшей уверенностью Прокл смотрят на этот метод как на нововведение Платона. В дошедших до нас сочинениях Платона не содержится никаких сведений об его исследованиях по рассматриваемому предмету, так что для суждения об их результатах нам не остаётся ничего другого, как воспользоваться определением этих методов у первого по времени известного нам писателя, который его даёт. Таким писателем является Эвклид, по определению которого «анализ есть принятие искомого как бы найденным, чем через следствия достигается то, что найдено истинным, а синтез есть принятие уже найденного, чем через следствия достигается то, что найдено истинным». Изложенные, на основании позднейших исследований предмета, более полным и главное более определённым образом, эти определения представляются в следующем виде.
Аналитический метод состоит в образовании цепи предложений, из которых каждое вытекает из следующего за ним, как непосредственное следствие. Первым звеном этой цепи служит доказываемое предложение, последним — предложение уже доказанное. Схема метода такова: требуется доказать существование D. Доказательство: D существует, если С существует; С существует, если В существует; В существует, если А существует, но существование А есть уже доказанная истина, следовательно, и существование D доказано, так как правильно выведенное следствие предложения, представляющего истину, всегда есть истина. Если между двумя следующими одно за другим предложениями цепи существует обратимость, то есть если при следовании справедливости первого предложения из справедливости второго, также следует обратно и справедливость второго из справедливости первого, то отыскивание этого второго предложения при составлении цепи, как предложения, из которого первое вытекает как следствие, может быть заменено более лёгким действием вывода второго предложения, как следствия первого. Если обратимость предложений распространяется на всю цепь, то аналитический метод принимает более лёгкую частную форму, состоящую в образовании цепи предложений, из которых каждое есть непосредственное следствие предыдущего. Эту частную форму обыкновенно и принимают за выраженную определением Эвклида, хотя неопределённость его выражения и не даёт для этого достаточного основания. Если же принять во внимание, что, при непонимании значения обратимости предложений, греческие геометры, употребляя эту форму, должны были беспрестанно приходить к ложным выводам, то придётся заключить, что путём горького опыта они должны были прийти к употреблению общей формы анализа, как никогда не обманывающей возлагаемых на неё надежд.
Синтетический метод есть обращение аналитического и поэтому состоит в образовании цепи предложений, из которых первое есть доказанная истина, а каждое из последующих есть следствие ему предшествующего.
Об апагогическом методе, или методе приведения к нелепости (reductio ad absurdum), Эвклид не говорит, но довольно ясное его определение наряду с неясными определениями анализа и синтеза даёт Прокл, при своём приписывании их Платону; «Третий (апагогический) метод, — говорит он, — есть приведение к невозможному, которое не доказывает прямо того, что ищется, а опровергает то, что ему противоречит, и таким образом через связь того и другого находит истину». В основании этого метода лежит истина, что если из двух предложений одно вполне отрицает другое, или, другими словами, если два предложения противоречащие, то для убеждения в справедливости одного достаточно показать ложность другого.
Аналогический метод есть собственно видоизменение аналитического, в котором первым звеном цепи предложений вместо доказываемого предложения является его отрицание, а последним какое-нибудь заведомо ложное или нелепое предложение. Учёные математики, принадлежавшие к Академии во все время её существования, распадались на две группы: на учёных, получивших своё математическое образование независимо от Академии и находившихся только в более или менее тесных сношениях с ней, и на бывших учеников Академии. К числу первых принадлежали Теэтет Афинский, Леодам Фасосский, Архит Тарентский и позднее Эвдокс Книдский; к числу вторых — Неоклид, Леон, Амикл из Гераклеи, братья Менехм и Динострат, и во время старости Платона —Теюдий из Магнезии, Кизикен Афинский, Гермотим Колофонский, Филипп Мендейский и Филипп Опунтский.
В школе Платона часто по его указаниям, а иногда и при непосредственном руководстве, продолжалась разработка планиметрии, получила значительное движение вперёд мало разработанная ранее стереометрия, создалось учение о конических сечениях и более общее о геометрических местах. Кроме того, в ней продолжал своё развитие получивший, насколько нам известно, начало в трудах Гиппократа Хиосского метод исчерпывания, о котором мы будем говорить далее, и были сделаны две новые попытки составления книги «Элементов» геометрии: Леоном в начале существования Академии, и Теюдием из Магнезии в конце жизни Платона. «Элементы» Леона замечательны по введению в них впервые так назыв. диоризма, то есть исследования задачи, состоящего в рассмотрении условий возможности или невозможности её решения, а также в первом случае и в определении числа её различных решений.
Из математиков, современных Академии, но не принадлежавших к ней, более известны нам по своей деятельности Автолик из Питаны и Аристей Старший. Создание в школе Платона философии М. должно было повести необходимым образом к разработке существенно необходимой для неё истории М. Дело этой разработки взяла на себя основанная учеником Платона, Аристотелем, школа перипатетиков в лице двух своих представителей, Эвдема Родосского и Теофраста Лесбосского. Нельзя не заметить, что в трудах по истории М. этих учёных заключается всё крупное, что было сделано школой перипатетиков для развития наук математических. Покровительство науке, оказываемое династией Птолемеев, царей новой греко-египетской монархии, возникшей после смерти Александра Македонского на почве древнего Египта, сделало, приблизительно с 300 г. до н. э., из столицы этой монархии, Александрии, главный центр умственной и духовной жизни греческого мира. Щедрые денежные пожертвования на дело науки и просвещения со стороны династии Птолемеев, и особенно трёх первых из них: Птолемея Сотера, Птолемея Филадельфа и Птолемея Эвергета, привлекли в Александрию выдающихся представителей науки древней Греции и собрали в Александрийской библиотеке все сокровища греческой учёной и изящной литературы. Самыми крупными из представителей М. в Александрии были Эвклид, Эратосфен и Аполлоний Пергский. Написанные Эвклидом «Элементы» геометрии закончили собой ряд попыток составления сочинений того же рода. До нынешнего времени остаются они произведением, не имеющим в своей области себе равного. Также классическим, хотя и далеко не в такой степени, является завершившее собой развитие учения о конических сечениях в древней Греции сочинение Аполлония Пергейского: «Восемь книг о конических сечениях», заключающее в себе все сделанное в этой области самим автором, его предшественниками и современниками.
Старшим современником Эратосфена и Аполлония Пергского был самый крупный математик своей эпохи, представитель италийской школы, Архимед. Из его работ особенно важное значение должно быть признано за исследованиями, относящимися к коническим сечениям, к происходящим от них телам вращения и к спиралям. Во всех этих исследованиях, так же как и при решении некоторых вопросов планиметрии и стереометрии, он широко пользовался методом исчерпывания, который в его руках достиг наибольшей доступной ему высоты развития.
Началом развития метода являются первые попытки раскрытия отношений, существующих между простейшей криволинейной фигурой, кругом, и фигурами прямолинейными. После того как было найдено, что площади правильных одноимённых многоугольников относятся как квадраты диаметров описанных округов, сама собой должна была явиться мысль о возможности перехода от этих многоугольников к кругам через посредство удваивания числа сторон многоугольников, делающего периметры последних все более и более близкими к окружностям кругов. Но так как уходящее в бесконечность удваивание числа сторон многоугольника, а вместе с ним и беспредельные приближение периметра того же многоугольника к окружности, не дают места непосредственному усмотрению, то явилась необходимость для удержания за очевидностью её прав в принятии основанием всех исследований рассматриваемого рода такого вспомогательного предложения, с помощью которого требования очевидности были бы удовлетворены. Таким предложением в «Элементах» Эвклида является следующее:
Если даны две неравные величины и от большей отнимается более половины, от оставшегося также более половины, и так далее, то останется величина, которая будет меньше всякой данной малой величины (книга X, предл. I)

Так как в устанавливаемом этой теоремой процессе всякий остаток сравним со следующим за ним, то строгие требования греческой геометрии являются удовлетворёнными. С помощью этой теоремы Эвклид доказывает, что всякий конус составляет третью часть цилиндра, имеющего одинаковые с ним основание и высоту; из тех же оснований он выводит, что круги относятся как квадраты их диаметров, что треугольные пирамиды, конусы, цилиндры при одной и той же высоте относятся соответственно, как площади их оснований; что отношение шаров равно отношению кубов их диаметров.
С гораздо большей строгостью относился к методу исчерпывания Архимед, положивший в его основание теорему:
Если две линии, две поверхности или два объёма неравны, то всегда возможно величину, на которую большее превосходит меньшее, прилагать к самой себе столько раз, что получится результат, превосходящий всякую данную конечную величину одного с ним рода.

Пользуясь этой теоремой, Архимед даёт, например, два способа решения вопроса о квадратуре параболы. Общий приём, заключающийся как в этих двух, по-видимому, очень различных способах, так и в подобных им, относящихся к другим родам протяжений, состоит в том, что определяемая величина рассматривается как предел ряда каких-нибудь величин, находящихся к ней в известном отношении. Но так как для практических приложений этого приёма не было выработано никаких общих правил, как относительно закона составления требуемых им рядов и формы их членов, так даже и относительно самого выбора ряда, который бы мог привести к цели, то исследователь получал в этом приёме только одни неопределённые общие указания на находящийся в его распоряжении путь исследования; во всем же остальном он был предоставлен собственной эрудиции и собственному остроумию. Это и было причиной, что только в руках такого гениального геометра, как Архимед, метод исчерпывания мог получить сколько-нибудь значительные приложения.
[править]
Период упадка
В деятельности Эвклида, Аполлония Пергейского и особенно Архимеда период самостоятельной деятельности греков в области М. достиг момента наибольшей высоты математических исследований как в количественном, так и в качественном отношении. Затем начинается период упадка. Работы греческих математиков мельчают. Дело идёт уже не о создании новых отраслей науки и решении её труднейших вопросов, а о пополнении тех, говоря относительно, неважных пробелов, которые были оставлены предыдущим быстрым развитием науки. В этой первой фазе упадка деятельность представителей математики: Никомеда, Диоклеса, Персея, Зенодора, Гипсикла Александрийского, астронома Гиппарха, всё ещё остаётся верной прежнему направлению, которое, как продукт характеристических свойств и особенностей греческой нации, может быть названо национальным. Материалы для этой деятельности черпались действительно из отраслей М., продолжение разработки которых было завещано предыдущей эпохой. Этими отраслями были: во-первых, элементарная геометрия и в ней главным образом стереометрия, где и после работ Эвклида и Архимеда все ещё оставались некоторые пробелы; во-вторых, кривые высших порядков, толчок к изучению которых был дан Архимедом через посредство его исследования спиральных линий, и в-третьих, числовая геометрия, также указанная последующим математикам Архимедом в относящейся к ней его работе по предмету вычисления круга. К первой отрасли относились работы Зенодора (изопериметрические фигуры) и Гипсикла Александрийского (правильные многогранники), ко второй — работы Никомеда (конхоида), Диоклеса (циссоида) и Персея (спирали), и к третьей — работы Гиппарха (создание тригонометрии и вычисление хорд).
В следующую за тем фазу упадка, начавшуюся около 100 г. до н. э., прежняя стойкость греческого гения в удержании национального направления оказывается совершенно утраченной, и если работы греческих математиков могут считаться греческими, то только по языку, а никак не по духу. К тому же и авторами их являются в большинстве случаев лица, чистота греческого происхождения которых в высшей степени сомнительна. Первым из чуждых греческому гению направлений, явившихся на смену национального, было прикладное направление, развившееся на почве древнего Египта, бывшее, по всей вероятности, наследием египетской М., об утилитарном направлении которой во времена составления папируса Ринда уже говорилось ранее.
Первое и едва ли не самое резкое выражение нашло это направление в самом начале своего развития, ок. 100 г. до н. э., в сочинениях Герона Александрийского, посвящённых главным образом разработке геодезии и механики и во многом напоминающих приёмы, формы, а изредка даже и содержание египетской М.
К этому же направлению должна быть отнесена и вызванная потребностями астрономии разработка тригонометрии, начатая в трудах Гиппарха ещё в эпоху национального направления и потому являющаяся звеном, связующим последнее с прикладным направлением. Самыми крупными деятелями разработки тригонометрии были Менелай Александрийский и Клавдий Птолемей. Связующий национальное и прикладное направления характер этой разработки выражается как в трудах по геометрии самого Птолемея, так и в ещё большей степени в геометрических работах второстепенных деятелей эпохи: Геминуса Родосского, Феодосия из Триполи, Дионисодора и Серенуса из Антиссы.
Как на известного нам представителя эпохи упадка этого направления можно указать на Секста Юлия Африканского, бывшего, несмотря на своё римское имя, греческим писателем.
Ещё более чуждым греческому гению было арифметическо-алгебраическое направление, получившее начало в неопифагорейской школе, образовавшейся в I ст. н. э. Деятелями арифметики в этой школе были: Никомах Геразский, Теон Смирнский и Тимарид. Продолжение работ неопифагорейцев в области арифметическо-алгебраического направления взяла на себя основанная во II в. н. э. неоплатоновская школа в лице главным образом двух своих представителей, Порфирия и Ямвлиха.
Но самым крупным деятелем в области арифметическо-алгебраического направления, закончившим его развитие, был стоявший вне философских школ Диофант Александрийский. На работы этого учёного следует смотреть как на последнюю яркую вспышку угасающей греческой математической науки, напомнившую её славное прошлое и более уже не повторявшуюся.
Третьей фазой упадка греч. М. была эпоха исключительной деятельности комментаторов великих произведений греческой математической литературы прошлого времени. Крупным представителем начала этой эпохи, подобного которому в дальнейшем её течении уже не встречалось, был Папп Александрийский. Он, действительно, в своём «Собрании», этом важнейшем из его сочинений, был ещё в состоянии к изложению содержания сочинений рассматриваемых им авторов присоединять от себя различные предложения, объясняющие или дополняющие предмет, хотя нередко и стоящие с ним в очень отдалённой связи. Этой способностью, всё ещё вносящей в науку кое-что новое, последующие деятели рассматриваемой эпохи: Теон Александрийский, его дочь Ипатия, Прокл Диадох, Дамаский, Эвтокий Аскалонский, Асклепий из Траллеса и Иоанн Филопон уже не обладали.
Четвёртой, и последней, фазой упадка греческой математики была эпоха византийских учёных, продолжавшаяся от VII века н. э. до взятия турками Константинополя (1453). В эту эпоху произведения древних греческих математиков сделались до того недоступными новым, что о самом их существовании эти последние нередко узнавали от арабов и персов; в то время, когда арабские математики прилагали все усилия к тому, чтобы иметь на своём языке переводы всех сколько-нибудь выдающихся в греческой математической литературе произведений, византийские математики не были в силах справляться даже с самыми незначительными элементарными произведениями арабской математической литературы и для переделок переводов на греческий язык нужных им сочинений обращались уже к совершенно ничтожной математической литературе персов, представляемой, напр., такими писателями как Шамсальдин Бухарский. Особенного развития это пользование персидскими отголосками таких произведений прежней греческой литературы, как Алмагест, достигло в XIV в. в трудах Хиониада Константинопольского, Георга Хризокоццеса, Фёдора Мелитениота и монаха Исаака Аргиры.
Кроме этих учёных, деятелями рассматриваемой эпохи в области М., оставившими более или менее заметный след в византийской литературе, были Михаил Пселл, Николай Кабазилас, монах Варлаам, Иоанн Педиазимус, или Галенус, Максим Плануд, Николай Рабда из Смирны и Мануил Москопул.
Индия
Народом, одновременно с греками, стоявшим во главе умственного развития человечества, были индусы. Это положение было занято им, впрочем, значительно ранее греков, как это можно видеть из того, что в то время, когда греки были ещё скромными учениками египтян, слава о мудрости браминов уже гремела на Востоке. До нас дошли даже тёмные известия, что учиться этой мудрости ездили в Индостан и некоторые из греков, именно Пифагор и Демокрит из Абдеры. Как показывают две великие религиозные системы, созданные индусами, браманизм и буддизм, национальными чертами индусского гения были склонность к философскому созерцанию, к умозрениям, стремящимся проникнуть в самую сокровенную сущность вещей и постичь необъятное и непостижимое, и стремление к построению таких систем философско-религиозного миросозерцания, которые, представляя стройное логическое целое, давали бы ответы на все великие и труднейшие вопросы и загадки, представляемые жизнью макрокосма и микрокосма, вселенной и человека. Направленные исключительно на познание внутренних отношений между вещами, индусские умозрения весьма мало заботились о внешних преходящих формах. В этом отношении индусы резко отличаются от греков, для которых так много значила форма. Занятия геометрией, как наукой, имеющей очень много дела с формами, должны были поэтому представлять для индуса гораздо менее привлекательности, чем для грека. Другое дело — наука чисел. Уже одно созерцание ряда чисел, уходящего всюду в бесконечность как при своём продолжении в обе стороны, так и в промежутках между каждыми двумя его членами, могло, хотя отчасти и кажущимся образом, приближать мысль к постижению идеи бесконечности. С другой стороны, для ума, имеющего исключительное пристрастие к познанию внутренней природы вещей, очень много привлекательного должно было представлять изучение свойств чисел и взаимных отношений между ними, являющихся так часто поразительными и неожиданными. Различия в характере национального гения у индусов и греков сказались и в различиях склада и направления способности мышления у тех и других. Индусы придают гораздо более цены результату, чем обоснованию исследования; гораздо более заботятся об ответе на вопрос «как?», чем на вопрос «почему?» В исследовании они обращают внимание главным образом на идеи и представления и гораздо менее на понятия. Вследствие этого, очень много теряя в определённости и строгости, они выигрывают в глубине и широте. При этом указанные выше склонности ума нередко увлекают их так далеко от действительности, что глубина исследования с помощью фантазии обращается в беспредельность, а его широта — в необъятность. Отсутствие в нашем распоряжении всяких сведений о математической литературе индусов за время, предшествующее V в. после Р. Х., совершенно лишает нас возможности составить себе хотя общее представление о развитии M. y индусов. Мы имеем за это отдалённое время только одни отрывочные сведения о широком развитии интереса к счислению у индусов, выразившемся в таких фактах, как существование в санскрите, в эпоху создания Махабхараты, следовательно, за много лет до н.э., отдельных независимых друг от друга названий для единиц первых 17 разрядов десятичной системы, или, как рассказ имеющего каноническое значение жизнеописания Будды, Lalitavistara, написанного, как полагают, за 246 лет до н.э., об экзамене Будды из арифметики, на котором он назвал имена всех разрядов чисел до 53-го включительно, и на «мольбу» о счёте, доходящем до пыли первых атомов, и об определении числа их на протяжении одной мили, он ответил решением, представляемым 15-значным числом. Большая часть наших сведений о результатах, достигнутых развитием М. у индусов, доставлена находящимися в нашем распоряжении сочинениями трёх индусских астрономов и математиков: Ариабгатты, Брамагупты и Баскары Ахарии, написанными соответственно в начале VI, в VII и XII вв. после Р. Х. Сведения эти не могут претендовать на достаточную широту и глубину как по незначительности числа произведений, известных нам в такой обширной литературе, как индусская, так и в особенности потому, что все они, как посвящённые астрономии, уделяют для изложения того, что может быть для неё нужно из области М., только одну, две главы. Из изложения этих глав мы узнаем, что арифметика, алгебра и неопределённый анализ достигли у индусов наивысшей для соответствующих эпох степени развития. Если под алгеброй подразумевать приложение арифметических операций к сложным величинам всякого рода, будут ли они рациональными или иррациональными числами, или пространственными величинами, то индусов следует признать истинными изобретателями этой науки, развитие которой они довели, если иметь в виду современные программы её изложения, до квадратных уравнений включительно. Но особенно высокой степени развития достиг у индусов неопределённый анализ, в области которого они обладали вполне разработанными методами решения в целых числах неопределённых уравнений с двумя неизвестными 1-й и 2-й степеней. Из этих методов тот, который, под именем «циклического» они употребляли для решения неопределённых уравнений 2-й степени, по своему утончённому остроумию превосходит решительно всё, что было сделано в области теории чисел до Лагранжа. Да и самый этот метод европейские математики, в лице Лагранжа, вторично нашли независимо от индусов только около 1769 г. (см. мемуар Лагранжа: «Sur la solution des problemes indetermines du 2 degre», в «Memoires de l'Academie de Berlin», т. 23). Если таким образом в области науки чисел индусы в своё время стояли во главе развития М., то ничего подобного нельзя сказать о геометрии, в области которой они далеко отставали от греков. Да и то, что они сделали в ней более замечательного, как найденное помощью приложения алгебраических методов, должно быть отнесено к области приложений алгебры к геометрии. Для чистой геометрии, в том виде, в каком она сформировалась, напр., у греков, индусы сделали сравнительно немного. Главную причину такой отсталости индусской геометрии от греческой едва ли не следует видеть в различии приёмов доказательства, употребляемых тем и другим народом в области этой науки. В то время как греки пользовались для этого строго определёнными логическими построениями, индусы ограничивались одним непосредственным усматриванием справедливости доказываемого, достигаемым путём продолжительного рассматривания фигуры, снабжённой всеми необходимыми вспомогательными линиями. Главнейшими вспомогательными средствами при этом, по-видимому, служили принцип совпадения вместе с вытекающим из него, в качестве особого случая, принципом симметрии и принцип подобия. С помощью этих принципов, при условии их полного и точного определения, могло бы быть развито всё содержание геометрии и притом не в форме конгломерата, как в элементах Эвклида, а в строгой систематической форме, в которой прогресс науки был бы руководим идеями не случайного происхождения, а лежащими в существе предмета. С тригонометрией индусов находящиеся в нашем распоряжении сочинения знакомят только по её приложениям к астрономии. Но и этого достаточно, чтобы видеть, что она настолько же отличается от греческой, насколько все арифметическо-алгебраическое направление математического гения индусской нации отличается от греческого национального направления. Всего яснее это выражается в способах составления тригонометрических таблиц. В то время, как греческие астрономы пользовались для этого целыми хордами, соответствующими двойным центральным углам, индусы составляли свои таблицы с помощью синусов, косинусов и синусов-версусов и существующей между ними зависимости, исходя из определяемых с помощью геометрии величин sin 30° и sin 45°. Это даёт нам право заключить, что тригонометрия у индусов разрабатывалась как один из отделов приложений алгебры к геометрии, т.е. в той же форме, какую она имеет и в настоящее время.
Арабы
Отставшей нацией, которая в деле дальнейшего продолжения умственного развития человечества готовилась выступить на смену его последних по времени передовых представителей, индусов и греков, были арабы. Вполне осуществить принимаемую ими в этом на себя великую задачу им, однако же, не удалось. В области М., пройдя период усвоения знаний, приобретённых человечеством, они, вследствие неблагоприятных политических обстоятельств, должны были остановиться на самом начале следующего периода самостоятельной деятельности. Находясь под одновременным воздействием индусов и греков, арабы в деле заимствования от тех и других сокровищ их науки шли не одним и тем же путём. Знакомство с индусской наукой приобреталось ими, по-видимому, таким же образом, как в древности знакомство греков с египетскими знаниями, т.е. через изучение на месте, производимое главным образом помощью устной передачи. Действительно, переводов индусских математических сочинений на арабский язык у арабов, насколько нам известно, совсем не было, и все, что они приобрели от индусов, было принесено к ним или их собственными путешественниками, отправлявшимися в Индостан, или такими как Аль-Бируни, живавшими там иногда долгое время, или приходившими к ним учёными индусами. Полная доступность греческой науки для всех желающих, составлявшая с самого распадения пифагорейского союза характеристическое её свойство, дала арабам возможность видеть их всех переведёнными на свой язык. Это счастливое для арабов обстоятельство дополнялось ещё тем, что в лице освоенных до некоторой степени с греческой образованностью просвещённых людей Малой Азии и Персии, между которыми выдающееся положение занимали сирийские христиане — несториане, арабская литература имела готовый контингент способных и знающих дело переводчиков. Наибольшего развития переводческая деятельность этих последних достигла во второй половине VIII и первой IX ст. Наиболее выдающимися из них в области М. были: Гунаин ибн Исгак, сын его Исгак ибн Гунаин, Табит ибн Курра и Куста ибн Лука. Несмотря на гораздо меньшую доступность арабам индусской М., они вполне усвоили арифметическо-алгебраическое направление индусов и остались почти совершенно чуждыми строго-геометрическому направлению греков. Нам, конечно, при нашем недостаточном знакомстве с индусской математической литературой, трудно отделить в сочинениях арабских математиков то, что принадлежит им самим, от заимствованного у индусов, но несомненно одно, что все известные нам сочинения араб. математиков, которые могут быть признаны самостоятельными, принадлежат арифметическо-алгебраическому направлению, а следовательно, к нему же принадлежат, за немногими исключениями, и все самостоятельные работы арабских математиков. Более выдающимися из известных нам деятелей арабской M. y восточных арабов были в IX в.: Мухаммед ибн Муза Альхваризми, Мухаммед ибн Муза ибн Шакир и его братья, Ахмед и Альгасан (известны своими работами по геометрии), Табит ибн Курра (упомянут выше в числе переводчиков), Альмагани, Абу Джафар Алхазин, астроном Аль-Баттани (известен своими работами по тригонометрии); в Х в. астрономы: Абул Вафа и Алькухи (последний известен своими работами по геометрии), также известные работами по геометрии Аль-Сагани и Альсиджци, или Альсинджари, Абу Мухаммед Альходжанди (работы по теории чисел), Альхузаин (работы по приложениям алгебры к геометрии); в XI веке: Ибн Сина, или в западно-европейской переделке Авиценна (работы по арифметике), Аль-Бируни (работы по арифметике и геометрии), Абул-Джуд (работы по геометрии и алгебре), известные работами по алгебре и по калькуляторской части М. Альназави и Алькарки, Омар Алькайами. К восточно-арабским математикам следует причислить также и двух, действовавших на почве древнего Египта: жившего в Х веке Ибн-Юнуса из Каира и жившего в XI веке Ибн Альгаитама. Последний не был даже уроженцем Египта и происходил из города аль-Басра. У западных арабов главное внимание было обращено на изучение астрономии. Вследствие этого М. занимала у них второстепенное положение, только как преподавателей мы и знаем первых из известных нам западно-арабских математиков: Х в. Альмадскрити и действовавших главным образом в XI в. его учеников: Алькармани, Ибн ас-Сафари и Альгарнати. Также и жившие в XIII в. Ибн-Альбанна и в XV — Алькальсади известны нам как авторы сочинений, имеющих ясно выраженный учебный характер. Другим характером отличается, разве только, входящая в состав сочинения по астрономии работа по тригонометрии астронома XI века Джабира ибн Афлах. Главную причину такого невысокого состояния западно-арабской М., почти не способного дать место самостоятельным исследованиям, едва ли не следует видеть в постоянных войнах, которые западные арабы вели между собой, и, кроме того, — и с христианами. Преждевременный конец только что начавшемуся периоду самостоятельной деятельности арабов в М. был положен начавшимися ок. 1100 г. крестовыми походами, а также и происходившими одновременно с ними междоусобными войнами, и затем довершен покорением восточно-арабской монархии монголами. Все известные нам в XII в. и в следующих столетиях произведения араб. математической литературы свидетельствуют о ясно выраженном периоде упадка. Известными нам деятелями этой печальной эпохи в области М. были: в XIII в. Абу Джафар Мухаммед ибн Гасан аль Тузи, более известный под прозвищем Насир-Эддина, в XIV веке Кадизадех Ар-Руми, в XV в. сын предыдущего — Мирам Челеби и Джитатэддин аль-Каши, в XVI и в начале XVII в. Бега-Эддин. В заключение нельзя не заметить также, что и период усвоения арабами знаний, приобретённых человечеством в области М., не может считаться законченным. Продолжать развитие М. арабы оказались способными только в духе и направлении индусов. До овладения же направлением и духом греческой геометрии им было ещё далеко.
Западная Европа
Несколько ранее арабов начала готовиться к продолжению умственного развития человечества Западная Европа. Но природа северных народов не позволила М. двигаться в этом направлении с такой же быстротой, с какой, благодаря живой восприимчивой природе южан, прогрессировали арабы. Начав позже Западной Европы, они сделались, как мы сейчас увидим, её учителями. Период усвоения Западной Европой знаний, приобретённых человечеством, представляет две ясно различимые фазы. Первой была фаза усвоения римских знаний.
Из народов, бывших учениками греков, римляне, в области М., едва ли не оказались наименее способными. Все, что в течение своих многовековых сношений с греками они могли заимствовать от них по части наук математических, не шло далее или энциклопедических обозрений содержания их элементарной части, представляемых сочинениями Варрона, Марциана Капеллы и Кассиодора, или собраний сведений, необходимых для архитектуры, как в сочинении Витрувия, и особенно для землемерия, как в сочинениях Колумеллы, Фронтинуса и землемеров по профессии — Гигинуса, Вальбуса, Липсуса, Эпафродитуса и Витрувия Руфуса, или, наконец, таких элементарных произведений учебного характера, как принадлежащий Аппулею перевод «Арифметики» Никомаха Геразенского и как другой перевод той же книги, сделанный Боэцием, вместе с сочинением последнего, посвящённым геометрии. Ввиду такого низменного состояния римских математических знаний нельзя и надеяться найти в них проблески самостоятельной мысли. Можно сказать вообще, что даже и в периоде усвоения знаний, приобретённых человечеством, римляне ушли вперёд очень недалеко. Усвоение же римских математических знаний Западной Европой сосредоточивалось почти исключительно в монастырях, которые со времён Бенедикта Нурсийского и Кассиодора взяли на себя роль охранителей сокровищ древней науки от бесследного уничтожения. Поэтому первыми деятелями западно-европейской математической литературы являются исключительно монахи, из которых более выдающимися для своего времени были: Исидор Севильский в VII в., Беда Достопочтенный и Алкуин в VIII в., и Герберт в Х в., бывший под именем Сильвестра II римским папой. Второй фазой усвоения Западной Европой знаний, приобретённых человечеством, было усвоение арабской науки, начавшееся в области М. с деятельности Герберта, затем все усиливавшееся и с эпохи крестовых походов сосредоточившее единственно на себе всю деятельность западно-европейских математиков. Деятельность переводчиков арабских математических соч. на лат. язык началась в оставшейся за христианами части Испании ещё до посещения её Гербертом и едва ли не с трудов Люпитуса Барцелонского. Наибольшее развитие она получила в XII в., к которому принадлежат такие крупные её представители, как Ателарт Батский, Платон Тибуртинский, Герард Кремонский, Рудольф из Брюгге и Иоанн Севильский. В XIII в. она уже стала падать, несмотря даже на деятельную поддержку, оказываемую ей такими меценатами, как император Фридрих II и король кастильский Альфонс X. Самым выдающимся из переводчиков в этом веке был Джованни Кампано, а более замечательными из второстепенных — Гильельмо де Люнис и астроном Герард из Саббионетты. Работами Кампано деятельность переводчиков с арабского языка на латинский в области М., по-видимому, закончилась, так как современной науке не известно ни одного перевода, сделанного позже 1270 г. Прекращение этой деятельности произошло с такой же быстротой и неожиданностью, как и переход её с начала XII в. от почти незаметного состояния к размерам, которые для своего времени прямо могут быть названы грандиозными. Усвоения арабских математических знаний Западная Европа достигла, говоря относительно, довольно рано, именно с самого начала XIII столетия, но только в лице одного человека, значительно опередившего современников, именно — Леонардо Пизанского, известного под прозвищем Фибоначчи. На усвоение содержания его сочинений, а вместе с тем и всего, что было доставлено Европе деятельностью переводчиков, соотечественниками Леонардо — итальянцами, а за ними, или, точнее, через посредство их университетов, и всей Западной Европой, было потрачено около 8 столетий. Более выдающимися деятелями этой эпохи в области математики были: в ХIII в. в Германии: Жордан Неморариус, Виттеллий и Вильгельм из Мербеке; в Англии: Иоаин Сакробоско и Рожер Бэкон; во Франции Винцент де Бове; в XIV в. в Англии: Ричард Валлингфорд, Модиз, Симон Бредон (Бириданус) и Томас Брадвардин; во Франции: Иоанн де Мурис, Иоанн де Линериис, Доминик Парижский и Николай Орем; в Германии: Альберт Саксонский и Генрих Гессенский;, в Италии: Паоло Дагомари и Биаджио из Пармы; в XV в. в Англии: Иоанн Норфольк; в Германии: Иоанн Гемунден, Георг Пеурбах, Николай Кузанский, Иоганн Видманн из Егера и Иоганн Мюллер, или Региомонтан; в Италии: Просдочимо де Бельдоманди. Насколько Леонард Пизанский опередил своё время, всего лучше можно видеть из того, что усвоение арабской науки даже в самой Италии двигалось до такой степени медленно, что достижение его средним уровнем итальянских математиков может считаться вполне состоявшимся никак не ранее второй половины XV в. Внешним обнаружением факта этого достижения является составление около 1494 г. таким математиком, как Лука Пачоли, свода почти всего, что получила Европа от арабов в области М., — свода, составленного главным образом по сочинениям Леонарда Пизанского. Таким образом в конце XV в. фаза усвоения арабской математической науки Западной Европой может считаться закончившейся. Ещё более сильным подтверждением этого заключения является начатое с первых лет ХVI в. итальянскими математиками Сципионом дель Ферро, Николо Тартальей, Джироламо Кардано и Феррари вполне самостоятельное продолжение работ араб. математиков в области алгебры. В работах названных четырёх математиков ученики арабов не только сравнялись с учителями, но и повели их дело дальше. Однако же, явившись таким образом самостоятельными деятелями на почве усвоенного ими в форме арабской М. арифметическо-алгебраического направления, западно-европейские математики все ещё оставались слабыми и робкими учениками в отношении гораздо более зрелой и развитой греческой науки, с которой они теперь впервые стали лицом к лицу, после падения Византии. Ранее, в средние века, знакомство с некоторыми из этих произведений достигалось не непосредственно, а с помощью арабских и сделанных с них более или менее искажённых латинских переводов. Следствием такого изменения отношений Западной Европы к греческой науке было широкое развитие с самого начала XVI в. переводческой деятельности с греческого языка на латинский и даже на некоторые из новых языков. Но, к сожалению, в области М. эта деятельность сосредоточивалась главным образом в руках учёных типографов, не бывших специалистами по М. Из математиков в XVI столетии много занимались переводами Мавролик и Коммандин в Италии; Пельтье, или Пелетариус, во Франции, Вильгельм Гольцманн, или Ксиландер, Конрад Дазиподиус, Кристоф Клавиус в Германии. Сделавшееся путём этих переводов доступным Западной Европе содержание классических произведений греческих геометров усваивалось её математиками очень медленно; вглубь же методов они совсем не могли проникнуть, так что поневоле должны были ограничиваться только крайне поверхностным знакомством с ними. Некоторые проблески самостоятельной мысли в духе греческой геометрии замечаются, в рассматриваемую эпоху, только у двух знаменитых художников, бывших в то же время и геометрами, у Леонардо да Винчи и у Альбрехта Дюрера. Менее заметными деятелями в той же области в течение XVI в. были в Италии: Георг Валла и Бенедетти; во Франции: Шарль де Бувелль, Жан Бютео и философ Пётр Рамус; в Германии: Иоанн Вернер, Иоанн Рихтер, или Преториус, и Яков Кристман; в Голландии Симон Стевин и Адриен ван Роомен.
Как и следовало ожидать, главная часть сил западно-европейской М. предалась работам в области арифметики и алгебры. За исследованиями, значительно раздвинувшими пределы последней, последовало её приведение в стройную научную систему, впервые сделанное Рафаэлем Бомбелли и потребовавшее с его стороны некоторых дополнительных изысканий. В том же направлении углубления и разработки уже открытых частей алгебры очень много сделал Франсуа Виет. Особенно важное значение в философском и научном отношении должно быть признано за его трудами по установлению и развитию алгебраического знакоположения, результатом которых был переход последнего из предыдущего хаотического состояния в частную форму идейного письма, хотя ещё и до сих пор не достигшую своего идеала, но всё-таки постепенно к нему приближающуюся. Более заметными деятелями арифметическо-алгебраической литературы XVI в. были в Италии: Галилей и Габриель де Араторибус; во Франции: Николай Шюке, Этьен де ла Рош, Оронций Финеус, Жан Фернель и Иодокус Клихтовеус; на Пиренейском п-ове: Цируело, Хуан де Ортега и Педро Нуньес; в Англии: Тонсталль и Роберт Рекорд; в Германии: Генрих Шрейбер, или Грамматеус, Кристоф Рудольф, Генрих Штромер, Пётр Апиан, Филипп Меланхтон, Гемма Фризиус, Грегор Рейш, Хусвирт, Тцвифель, Яков Кобель, Адам Ризе, и самый выдающийся из германских алгебраистов XVI в., Михаил Штифель. Так как самостоятельные геометрические работы в духе и направлении греческих геометров совсем отсутствовали в Западной Европе, то все сколько-нибудь ценные вклады в науку геометрии доставлялись завещанной индусско-арабской наукой областью приложений алгебры к геометрии и такими их отделами, как циклометрия и тригонометрия. В общей области приложений обращают на себя внимание в XVI в. труды Франсуа Виета, в отделе тригонометрии труды Петра Апиана, Иоанна Вернери, Ретикуса и Бартоломея Питискуса в Германии и Адриена ван Роомена в Голландии; в отделе циклометрии: Йозефа Скалигера во Франции; Людольфа фан Цейлен и Адргиена Меция в Голландии. Прогресс геометрии даже и в духе арифметическо-алгебраического направления совершался с большей медленностью до тех пор, пока философ и математик Рене Декарт не завершил в XVII веке предшествующую ему разработку приложений алгебры к геометрии, окончательным введением геометрии в круг наук, развивающихся с помощью алгебры, или, вообще говоря, анализа. В методах великого творения Декарта — «Аналитической геометрии» — и ещё более в открытом вскоре Ньютоном и Лейбницем анализе бесконечно малых геометрия, хотя и на совершенно чуждой ей почве, нашла, наконец, методы, которых недоставало для дальнейшего развития даже в руках таких геометров, как Архимед. С этого времени развитие геометрии пошло быстро вперёд, но не самостоятельным путём, при помощи средств, являющихся прямыми результатами её природы, а путём, всецело принадлежащим чуждой области арифметическо-алгебраического направления, и при помощи средств, имеющих хотя и тесную, но всё-таки побочную, непрямую связь с природой геометрии. Таким образом, западно-европейские математики сделались самостоятельными деятелями также и в закрытой для них до сих пор области геометрии, явившись продолжателями дела древних греческих геометров, хотя не по духу и средствам, а только по содержанию предмета. Работы, создавшие высший анализ, начались с допущенных математиками XVI в. отступлений от требований строгой очевидности, которыми Архимед обусловливал употребление метода исчерпывания. Наибольшего развития эти отступления достигли в гениальном сочинении астронома Иоганна Кеплера: «Nova stereometria doliorum vinanorum etc.» (Linc., 1605), во многом предугадавшем и даже предвосхитившем последующий ход развития. Следующими за тем ступенями развития, постепенно приближавшими высший анализ к превращению в анализ бесконечно-малых, представший Ньютону в форме метода флюксий, а Лейбницу в форме дифференциального интегрального исчислений, были: метод неделимых Кавалери, методы квадратур и кубатур Ферма, Роберваля, Паскаля и Валлиса, способы Роберваля и Исаака Барроу проведения касательной к кривым и, наконец, метод определения наибольших и наименьших величин Ферма и основанный на этом методе его же способ проведения касательной.
XVII век
XVII в. ознаменовался также важными успехами практики вычислений, состоявшими во введении во всеобщее употребление Симоном Стевином десятичных дробей и в открытии логарифмов Иобстом Бюрги и Джоном Непером. Тому же веку принадлежит и заслуга создания, трудами Паскаля и Ферма, теории вероятностей, как самостоятельной науки. Этим же двум учёным наука обязана значительными успехами в области неопределённого анализа и теории чисел. Главным предметом деятельности математиков XVIII века было развитие созданного в прошлом столетии анализа бесконечно-малых и его приложений, преимущественно к геометрии и механике.
В числе много различных результатов упомянутого развития заслуживают особенного внимания приведшие к созданию таких новых отраслей математического анализа, как вариационное исчисление и исчисление конечных разностей. Все важнейшие труды, как великих математиков эпохи, Эйлера и Лагранжа, так и всех сколько-нибудь выдающихся, были посвящены указанному главному предмету деятельности века. Но при этом они не забывали также и другие математические науки, которые все приобрели в XVIII в. более или менее значительные приращения. С точки зрения истории развития математики в Западной Европе, особенное значение в среде многоразличных успехов XVIII в. имеют сделанные в области разработки геометрии в исходящем из её природы направлении древних греческих геометров, или, короче, в области синтетической геометрии.
Увлечённые лёгкостью и быстротой открытия новых геометрических истин на почве аналитической геометрии и анализа бесконечно-малых, математики XVII и XVIII вв., за немногими счастливыми исключениями, не придавали должного значения тому, что разрабатывают геометрию на чуждой ей почве индусско-арабского арифметическо-алгебраического направления. Другими словами, они не обращали внимание на то, что всё ещё не овладели греч. наукой вполне.
Только немногие из них, глубже других проникшие в последнюю, как Дезарг, Паскаль, делали несмелые попытки работать в одном с ней направлении. Такое, обусловливаемое ходом умственного развития, невольное игнорирование синтетич. геометрии продолжалось до конца XVIII в., когда наконец трудами Монжа , в созданной им «Начертательной геометрии», и Карно, в его «Геометрии положения», были даны средства её развития. Последователям этих учёных, действовавшим уже в XIX в., Понселе, Штейнеру, Шалю и др., оставалось только, продолжая их дело далее, быстро повести развитие геометрии по новым для Западной Европы, чисто геометрическим путям.
Только с этого времени усвоение западно-европейскими народами греческой геометрии может считаться закончившимся вполне, а сами они могут быть признаны взявшими в свои руки дальнейшее развитие М. во всех известных областях и направлениях. Выразившаяся в этом последнем успехе в деле усвоения знаний, приобретённых человечеством, полная зрелость математического гения народов Западной Европы ознаменовалась в XIX в. такими важными и быстрыми успехами всех отраслей М., которые совершенно затмевают всё, сделанное в прошлом XVIII в., и для сколько-нибудь достаточного изображения которых предлагаемый очерк не может дать места.
Россия
Для России период самостоятельной деятельности в области М. начался с конца первой четверти XIX в., хотя, как это всегда бывало в соответствующих случаях и прежде, провозвестники его наступления, в виде работ академиков Румовского, Котельникова, Гурьева и Висковатова, появлялись ещё в конце XVIII и в начале XIX вв. Само собой разумеется, что в качестве провозвестников, эти работы могли быть и были опытами самостоятельного решения различных частных вопросов, давно уже выдвинутых движением науки. После 1825 г. в геометрических трудах Лобачевского, только недавно оценённых по достоинству Западной Европой, и в работах по чистой и прикладной М. Остроградского и Чебышёва, оценка которых, благодаря положению авторов, как членов СПб. акад. наук, и их связям в учёном мире, последовала гораздо скорее и выразилась в их избрании в число немногих иностранных членов Парижской академии наук, русская математическая наука получила общее признание в Западной Европе и заняла довольно видное положение. В последние 30 лет труды русских математиков не только охотно помещались в иностранных периодических изданиях, но нередко обращали на себя внимание Зап. Европы даже и в русском оригинале. Главными двигателями быстрого развития в России самостоятельной деятельности в области М., наряду с Академией наук, явились в последнее время возникшие при университетах математические общества. Первым основанным в России обществом этого рода было возникшее в 1811 г. при Моск. университете Общество математиков. Но, по условиям времени, оно могло преследовать не учёные, а только чисто учебные цели, выразившиеся в составлении и переводе учебников и в организации лекций по математическим наукам для желающих. Существование Общества было непродолжительно и закончилось вызванным тяжёлыми обстоятельствами времени неожиданным превращением его в Училище колонновожатых. Появление учёных математических обществ сделалось возможным в России только в 1860-х гг., когда (в 1864 г.) было основано старейшее из них, Московское математическое общество. Затем были основаны: в 1879 г. Харьковское математическое общество, в 1869 г. Киевское физико-математическое общество, в 1890 г. Казанское физико-математическое общество и в 1894 г. СПб. математическое общество. Киевское и Казанское общества существовали, впрочем, и ранее в виде секций физико-математических наук при обществах естествоиспытателей тех же городов. Как на самый крупный из результатов деятельности этих обществ на пользу и преуспеяние русской математической науки, следует указать на издаваемые ими периодические издания и сборники своих протоколов и учёных трудов. В настоящее время органами русской математической литературы, кроме изданий Академии и учёных записок университетов, служат следующие периодич. издания частных лиц и учёных обществ. В Москве: «Физико-математические науки в их настоящем и прошедшем», издаваемый В. В. Бобыниным и посвящённые главным образом истории, философии и библиографии физико-математических наук (выходит XIII том); «Математич. Сборник» (см.), издав. Моск. математическим обществом (выходит XVIII том) и «Труды отделения физических наук Общества любителей естествознания (выходит VIII том). В Казани: «Известия Физико-математического общества при Имп. Казанском университете» (выходит VI т.). В Харькове: «Сообщения Математического общества при Харьковском университете» (выходит V т. 2-й серии). В Одессе: «Вестник опытной физики и элементарной математики", популярно-научный журнал, издаваемый с 1886 г. (со второй половины) Э. К. Шпачинским. Заключать от этого сравнительного обилия периодических изданий, посвящённых М., к существованию интереса к её развитию в русском образованном обществе, было бы, однако, большой ошибкой. Такого интереса нет даже в меньшинстве, получившем высшее математическое образование, как это можно видеть не только из опыта редакций этих изданий, но и из того общеизвестного факта, что все эти издания, за исключением одного, существуют не на собственные доходы, а на субсидии правительства или на средства, доставляемые издающими их обществами.
 
 
НАЦИОНАЛЬНЫЙ ФОНД ПОДГОТОВКИ КАДРОВ. ИНФОРМАТИЗАЦИЯ СИСТЕМЫ ОБРАЗОВАНИЯ.
Сайт сделан по технологии "Конструктор школьных сайтов".